Теорія

 Трикутник – це геометрична фігура, що складається із трьох точок, які не лежать на одній прямій, і відрізків, які з’єднують ці точки. Точки називають вершинами трикутника, а відрізки – його сторонами.

    Наприклад: трикутник із вершинами А, В, С і сторонами АВ, ВС, АС. Цей трикутник позначається так: .

     Кути САВ, АВС, АСВ називаються кутами трикутника. Найчастіше їх позначають однією буквою: . Сторону ВС і кут А трикутника АВС називають протилежними. Протилежними є також сторона АВ і кут С, сторона АС і кут В. Кути А і С, В і С, А і В називаються прилеглими до сторін АС, ВС, АВ.

     Периметром трикутника називають суму довжин трьох сторін трикутника. Якщо периметр трикутника позначити буквою Р, а довжини сторін ВС, АС і АВ – відповідно, через а, b, с, то

.

    Теорема. У будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін (нерівність трикутника), тобто .

2 Види трикутників

     Залежно від довжини сторін розрізняють різносторонні, рівнобедрені і рівносторонні (або правильні) трикутники.

     Трикутник, який має три різні за довжиною сторони, називають різностороннім.

     Трикутник, який має дві рівні сторони, називається рівнобедреним. Рівні сторони називаються бічними, а третя сторона – основою трикутника.

    Наприклад:  – рівнобедрений, у нього АВ=ВС, тобто АВ, ВС – бічні сторони, АC – основа.

     Трикутник, у якого всі сторони рівні, називають рівностороннім, або правильним. У рівностороннього трикутника всі кути рівні, величина кожного з них дорівнює 60°.

     Залежно від величини кутів розрізняють гострокутні, прямокутні й тупокутні трикутники.

     Гострокутним називається трикутник, у якого всі кути гострі.

     Прямокутним називається трикутник, у якого є прямий кут. Сторону прямокутного трикутника, протилежну прямому куту, називають гіпотенузою, а дві інші сторони – катетами.

    Наприклад: сторона АС – гіпотенуза, сторони АВ і ВС – катети.

     Тупокутним називається трикутник, у якого є тупий кут.

3 Висоти, бісектриси та медіани трикутника

     Висотою трикутника називають перпендикуляр, проведений із його вершини до прямої, яка має протилежну сторону.

    Наприклад: відрізок BD – висота відповідно гострокутного, тупокутного і прямокутного трикутників.

	Мал.1

Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці.

     Медіаною трикутника називають відрізок, який з’єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

    Наприклад: ВМ – медіана трикутника АВС.

     Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка називається центром мас трикутника.

     Бісектрисою трикутника називається відрізок, який з’єднує вершину кута і точку протилежної сторони й ділить кут навпіл.

    Наприклад: BL – бісектриса трикутника АВС.

     Усі бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром кола, вписаного в трикутник.

4 Середня лінія трикутника

     Середньою лінією трикутника називають відрізок, який з’єднує середини двох його сторін.

    Наприклад: MN – середня лінія.

     Середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині.

    Наприклад: .

5 Поняття про рівність фігур

     Перетворення однієї фігури в іншу називається рухом, якщо воно зберігає відстані між точками, тобто будь-які дві точки А і В однієї фігури F переводяться в точки А₁ і В₁ другої фігури F₁ так, що АВ=А₁В₁.

     Дві фігури F і F₁ називаються рівними, якщо вони рухом перетворюються в одну.

     Запис F=F₁ означає, що фігура F дорівнює фігурі F₁.

     Перетворення симетрії відносно точки і відносно прямої та поворот площини навколо точки є рухами.

6 Ознаки рівності трикутників

    Наприклад: трикутники АВС і А₁В₁С₁ – рівні.

     Рівність трикутників позначається так: .

     Якщо два трикутники рівні, то елементи (тобто сторони, кути, медіани, бісектриси, висоти тощо) одного з них відповідно дорівнюють елементам другого.

    Наприклад: , АВ=А₁В₁, ВС=В₁С₁, АС=А₁С₁.

     На малюнках рівні відрізки позначаються рівною кількістю рисок, а рівні кути однаковою кількістю дужок. У рівних трикутників проти рівних сторін лежать рівні кути, а проти рівних кутів – рівні сторони.

     Перша ознака рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними)

     Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники є рівними.

     Друга ознака рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими кутами)

     Якщо сторона і два прилеглі до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні і двом прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники  - рівні.

     Третя ознака рівності трикутників (за трьома сторонами)

     Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники є рівними.

     Два прямокутні трикутники рівні, якщо виконується одна з умов:

1. два катети одного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам другого трикутника;
2. катет і гострий кут одного трикутника відповідно дорівнюють катету і гострому куту другого трикутника;
3. гіпотенуза і гострий кут одного трикутника дорівнюють гіпотенузі і гострому куту другого трикутника;
4. гіпотенуза і катет одного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і катету другого трикутника.

7 Властивості та ознаки рівнобедреного трикутника

Властивості рівнобедреного трикутника

    Рівнобедрений трикутник має такі властивості.

1. У рівнобедреного трикутника кути при основі рівні.

    Наприклад: АВ=ВС, тобто  – рівнобедрений, отже, .

1. У рівнобедреного трикутника медіана, проведена до основи, є і бісектрисою, і висотою.
2. У рівнобедреного трикутника висота, проведена до основи, є і бісектрисою, і медіаною.
3. У рівнобедреного трикутника бісектриса, проведена до основи, є і медіаною, і висотою.

    Наприклад: у  (АВ=ВС) відрізок BD є і медіаною (AD=DC), і висотою (), і бісектрисою ().

Ознаки рівнобедреного трикутника

     Якщо в трикутнику:

1. два кути рівні,
2. медіана і висота збігаються,
3. медіана і бісектриса збігаються,
4. висота і бісектриса збігаються, то він є рівнобедреним.